Question

在中，，点为所在平面上一点，满足，（且）.

（1）试用表示；

（2）若点为的外心，求的值；

（3）若点在的角平分线上，当时，求的取值范围.

Answer

（1） ；（2） （3）.

【解析】

（1）可化简，化简后可用表示.

（2）由点为的外心可得，，利用这两个关系式可求的值.

（3）设为的平分线，则，利用平面向量基本定理和共线向量定理可得：，再根据平面向量基本定理可得，求出的范围后利用数量积可得，从而可得的取值范围.

（1）因为，所以，

化简后可得即.

（2）如图，设、的中点为，连接，则，.

又，同理，

所以即，

同理，整理得到，

解得.

（3）如图，为的平分线，则.

设，.

故，

因不共线，故，所以，

因为，故.

又,

故，所以.

故的取值范围为.