Question

已知：函数，数列对，总有；

（1）求的通项公式；

（2）设是数列的前项和，且，求的取值范围；

（3）若数列满足：①为的子数列（即中每一项都是的项，且按在中的顺序排列）；②为无穷等比数列，它的各项和为，这样的数列是否存在？若存在，求出所有符合条件的数列.写出它的通项公式，并证明你的结论；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2） ；（3）存在，或.

【解析】

（1）可证为等差数列，从而可求其通项.

（2）先求出，再求出，化简后利用基本极限可得所求的极限（与有关），解关于的不等式后可得所求的范围.

（3）先证明无穷等比数列的公比为且为奇数，再就分类讨论可求的通项.

（1）因为，故即，所以为等差数列，

故即.

（2），

所以

，

因为，所以，

所以即，

所以的取值范围为.

（3）设的公比为且为互素的奇数，，

则对于任意，总有，

所以，

若，因为互素，有因数，但为有限数，矛盾， 故.

故公比.

当时，无穷等比数列的各项之和为，故，

此时.

当时，无穷等比数列的各项之和为，故（舍）.

当时，无穷等比数列的各项之和为，故.

此时.

当时，无穷等比数列的各项之和为，故,

所以，

若，则无穷等比数列的各项之和为，舍；

若，则无穷等比数列的各项之和为，舍.

综上，所求的无穷等比数列的通项为后.