Question

如图，在四棱锥中，底面为矩形，是等边三角形，是直角三角形，为中点．

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值．

Answer

（1）证明见解析 （2）

【解析】

（1）取的中点，根据等边三角形性质得，根据矩形性质得，最好根据线面垂直判定定理与性质定理得结果；

（2）法一：建立空间直角坐标系，利用向量数量积求各面方向量 ，再根据二面角与法向量夹角关系求结果；法二：取的中点，证明为二面角的平面角，再根据解三角形得结果.

（1）取的中点，连接，

在等边三角形中，；

在矩形中，，则．

∵，∴平面．

∵平面，∴．

（2）法一：设，则，

∵且点为的中点，（三线合一）

∴为等腰直角三角形且．

∵，∴．

∴两两垂直

以为原点，为轴，为轴，为轴，

建立空间直角坐标系，

则，

．

设平面的一个法向量为的，由得

令得．

（注：也可证明为平面的一个法向量）

设平面的一个法向量为，由得

令得．

．

由图知，二面角为钝角，则二面角的余弦值为．

（2）法二：

设，则，

∵且点为的中点，（三线合一）

∴为等腰直角三角形，∴，

∴为等腰三角形，

取的中点，连接，∵，∴．

在等边三角形中，连接，则，．

则为二面角的平面角．

连接，在中，由余弦定理，．

则二面角的余弦值为．