Question

已知是实系数一元二次方程的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点位.

（1）若在直线上，求证：在圆:上；

（2）给定圆，则存在唯一的线段满足：

①若在圆上，则在线段上；

②若是线段上一点（非端点），则在圆上，写出线段的表达式，并说明理由；

（3）由（2）知线段与圆之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中是（1）中圆的对应线段）.

表一：

线段与线段的关系	的取值或表达式
所在直线平行于所在直线
所在直线平分线段
线段与线段长度相等

Answer

（1）见解析；（2）线段为：．理由见解析；（3）见解析．

【解析】

（1）由，求出坐标，代入圆方程验证即可证；

（2）当，即时，求出坐标，代入圆方程，可得关系式，从而知所满足的直线方程，求出的取值范围，即得线段方程，反之在线段上，检验在圆上即可；

（3）根据两直线的位置关系求解后可填表．

（1）由题意，解方程，得，

点或，

∵，

∴在圆上；

（2）当，即时，解方程得，

所以或，

由题意，整理得，

∵，，∴，

线段为：．

若点在线段：上（非端点），则实系数方程为：，此时，且或在圆上．

（3）由以上解题过程知，

若所在直线平行于所在直线，则，∴；

若所在直线平分线段，线段中点为，所以，即；

线段与线段长度相等，∴，即．

表一：

线段与线段的关系

的取值或表达式

所在直线平行于所在直线

所在直线平分线段

线段与线段长度相等

．