Question

设n为正整数集合，n对于集合A中的任意元素和，记.

（1）当时，若，，求和的值；

（2）当时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α，β，当α，β相同时，是奇数；当α，β不同时，是偶数.求集合B中元素个数的最值.

Answer

（1）；（2）集合B中元素个数的最大值为4

【解析】

（1）直接根据定义计算；

（2）注意到1的个数的奇偶性，根据定义反证证明．

解析（1）因为，，所以

，.

（2）设，

则.

由题意知，

且为奇数，

所以，，，中1的个数为1或3，

所以.

将上述集合中的元素分成如下四组：

，；，；，；，.

经验证，对于每组中的两个元素，，均有，

所以每组中的两个元素不可能同时是集合B中的元素，

所以集合B中元素的个数不超过4.

又集合满足条件，

所以集合B中元素个数的最大值为4.