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已知椭圆:的中心为,一个方向向量为的直线与只有一个公共点 (1)若且点在第二象限...

已知椭圆的中心为,一个方向向量为的直线只有一个公共点

1)若且点在第二象限,求点的坐标;

2)若经过的直线垂直,求证:点到直线的距离

3)若点在椭圆上,记直线的斜率为,且为直线的一个法向量,且的值.

 

(1)(2)见解析(3)9 【解析】 (1)设直线的方程为,代入椭圆方程,可得的方程,运用直线和椭圆只有一个公共点,可得,化简整理,解方程可得的坐标; (2)设直线,运用(1)求得到直线的距离公式,再由基本不等式可得最大值,即可得证; (3)直线的方程为,代入椭圆方程,可得交点,求得,同样将直线代入椭圆方程求得的坐标,可得,化简整理即可得到所求值. 【解析】 (1)设直线的方程为,代入椭圆方程, 可得, 直线与只有一个公共点,可得, 即有, 化简可得, 由可得, 由点在第二象限,可得, 即为; (2)证明:设直线, 由(1)可得,, 则点到直线的距离 , 当且仅当时,取得等号; (3)由题意可得直线的方程为, 代入椭圆方程,可得, 即有,, 即有, 将直线的方程,代入椭圆方程可得, ,, 即有, 则.
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考点分析:
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