Question

已知椭圆：的中心为，一个方向向量为的直线与只有一个公共点

（1）若且点在第二象限，求点的坐标；

（2）若经过的直线与垂直，求证：点到直线的距离；

（3）若点、在椭圆上，记直线的斜率为，且为直线的一个法向量，且求的值.

Answer

（1）（2）见解析（3）9

【解析】

（1）设直线的方程为，代入椭圆方程，可得的方程，运用直线和椭圆只有一个公共点，可得，化简整理，解方程可得的坐标；

（2）设直线，运用（1）求得到直线的距离公式，再由基本不等式可得最大值，即可得证；

（3）直线的方程为，代入椭圆方程，可得交点，求得，同样将直线代入椭圆方程求得的坐标，可得，化简整理即可得到所求值．

【解析】
（1）设直线的方程为，代入椭圆方程，

可得，

直线与只有一个公共点，可得，

即有，

化简可得，

由可得，

由点在第二象限，可得，

即为；

（2）证明：设直线，

由（1）可得，，

则点到直线的距离

，

当且仅当时，取得等号；

（3）由题意可得直线的方程为，

代入椭圆方程，可得，

即有，，

即有，

将直线的方程，代入椭圆方程可得，

，，

即有，

则．