Question

已知a＋b＋c＝0，求证：ab＋bc＋ca≤0.

Answer

见解析

【解析】

可以利用综合法、分析法证明不等式.

法一 综合法．

∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0.

上式展开，得ab＋bc＋ca＝－.

∴ab＋bc＋ca≤0.

法二 分析法．

∵a＋b＋c＝0，∴要证ab＋bc＋ca≤0，

只要证ab＋bc＋ca≤(a＋b＋c)2，

即证a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca≥0，亦即证≥0.

而这是显然成立的，由于以上相应各步均可逆，

故原不等式成立．