Question

已知函数，其中为实数．

（1）若函数为定义域上的单调函数，求的取值范围．

（2）若，满足不等式成立的正整数解有且仅有一个，求的取值范围．

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）分析当时的单调性，可得的单调性，由二次函数的单调性，可得的范围；

（2）分别讨论当，当时，当时，当，结合函数的单调性和最值，即可得到所求范围．

（1）由题意，当时，为减函数，

当时，，

若时，也为减函数，且，

此时函数为定义域上的减函数，满足条件；

若时，在上单调递增，则不满足条件．

综上所述，．

（2）由函数的解析式，可得，

当时，，不满足条件；

当时，为定义域上的减函数，仅有成立，满足条件；

当时，在上，仅有，

对于上，的最大值为，

不存在满足，满足条件；

当时，在上，不存在整数满足，

对于上，，

不存在满足，不满足条件；

综上所述，．