Question

如图，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面ABD，点E与点D在平面ABC的同侧，且，.点F为AD中点，连接EF.

（1）求证：平面ABC；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）取AB中点为O，连接OC、OF，证明四边形OCEF为平行四边形，EF∥OC，然后证明EF∥平面ABC；

（2）以O为坐标原点，分别以、、的方向为x、y、z轴正方向，建立空间直角坐标系．不妨令正三角形ABC的边长为2，求出相关的的坐标，求出平面AEC的法向量，平面AED的法向量，取法向量的方向一进一出，利用空间向量的公式求解即可．

（1）证明：取AB中点为O，连接OC、OF，∵O、F分别为AB、AD中点，

∴OF∥BD且BD＝2OF，又CE∥BD且BD＝2CE，∴CE∥OF且CE＝OF，∴四边形OCEF为平行四边形，∴EF∥OC，

又OC⊂平面ABC且EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC．

（2）∵三角形ABC为等边三角形，O为AB中点，∴OC⊥AB，∵平面ABC⊥平面ABD且平面ABC∩平面ABD＝AB，

又BD⊥AB且BD⊂平面ABD，∴BD⊥平面ABC，又OF∥BD，∴OF⊥平面ABC，

以O为坐标原点，分别以、、的方向为x、y、z轴正方向，建立空间直角坐标系．

不妨令正三角形ABC的边长为2，则O（0，0，0），A（1，0，0），，，D（﹣1，0，2），

∴，，设平面AEC的法向量为，则，

不妨令，则，

设平面AED的法向量为，

令

得，

∴，

∴所求二面角C﹣AE﹣D的余弦值为．