Question

已知非零数列满足，.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）若关于的不等式有解，求整数的最小值；

（3）在数列中，是否存在首项、第项、第项()，使得这三项依次构成等差数列？若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）存在，或.

【解析】

（1）由条件可得，即，再由等比数列的定义即可得证；
（2）由等比数列的通项公式求得，，再由数列的单调性的判断，可得最小值，解不等式即可得到所求最小值；
（3）假设存在首项、第项、第项()，使得这三项依次构成等差数列，由等差数列的中项的性质和恒等式的性质，可得，的方程，解方程可得所求值.

【解析】
（1）证明：由，
得，即，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列；
（2）由（1）可得，，则
故，
设，
则

，
所以单调递增，
则，于是，即 ，
故整数的最小值为；
（3）由上面得，，
设，
要使得成等差数列，即，
即，
得，
，
，
故为偶数，为奇数，
或.