Question

已知A，B是焦距为的椭圆的上、下顶点，P是椭圆上异于顶点的任意一点，直线PA，PB的斜率之积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若C，D分别是椭圆的左、右顶点，动点M满足，连接CM交椭圆于点E，试问：x轴上是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出点T坐标，若不存在，请说明理由.

Answer

（1）（2）存在定点满足题意

【解析】

（1）设,代入椭圆方程可得,由,则,又由,进而求得,从而求得椭圆方程；

（2）设,法一：设,由C,E,M共线得,则,由E在椭圆上,可得,代入中求解即可；

法二：设直线,则,联立可得,则,代入中求解即可

（1）由题,,设,

则,所以,

所以,

所以,

又,

所以,

所以椭圆的方程为

（2）存在,

设其坐标为,由题,,

法一：设,

由C,E,M共线得,即,所以,

由E在椭圆上,得,则,

因为,,

所以恒成立,

所以,即存在定点满足题意

法二：设直线,其中,

令得,

联立,

得,

故,所以,

所以,,

故恒成立,

所以,即存在定点满足题意