Question

如图，在直角梯形SABC中，，D为边SC上的点，且，现将沿AD折起到达的位置（折起后点S记为P），并使得.

（1）求证：平面ABCD；

（2）设，

①若点E在线段BP上，且满足，求平面EAC与平面PDC所成的锐二面角的余弦值

②设G是AD的中点，则在内（含边界）是否存在点F，使得平面PBC？若存在，确定点F的位置，若不存在，请说明理由.

Answer

（1）证明见解析（2）①②平面PBC上存在点F，当F为PB中点时，平面PBC

【解析】

（1）由题可得先证得平面PAD,即,又有,可得,进而证得平面ABCD；

（2）①以D为原点,DA,DC,DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz,分别求得各点坐标,则,,,由可得,则,分别求得平面EAC与平面PDC的法向量,进而利用数量积求得法向量夹角余弦值,从而得解；

②可推测点F为棱PB中点时满足条件,取PC中点M,连结MD,MF,可得,即可将问题转化为平面PBC,利用等腰直角求证即可

证明：（1）,

平面PAD,

平面PAD,

,

,

,

,

平面ABCD

（2）由（1）知,

故DA,DC,DP两两垂直,

以D为原点,DA,DC,DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz,如图,

则,

则,,,

①设平面EAC与平面PDC所成的锐二面角为,

,

,

,

设是平面ACE的一个法向量,

则,即，

不妨取,得,

因为平面PCD,则是平面PCD的一个法向量,

则,

故平面EAC与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为

②存在,点F为棱PB中点时,满足平面PBC,证明如下：

当点F为棱PB中点时,取PC中点M,连结MD,MF,

则且,

四边形DGFM为平行四边形,

,

又等腰直角中,,

,

平面PDC,平面PDC,

,又,

平面PBC,

平面PBC