Question

已知抛物线，过焦点F的直线l与抛物线交于S，T，且.

（1）求抛物线C的方程；

（2）设点P是x轴下方（不含x轴）一点，抛物线C上存在不同的两点A，B满足，其中为常数，且两点D，E均在C上，弦AB的中点为M.

①若点P坐标为，抛物线过点A，B的切线的交点为N，证明：点N在直线MP上；

②若直线PM交抛物线于点Q，求证；为定值（定值用表示）.

Answer

（1）（2）①证明见解析②证明见解析，定值为

【解析】

（1）设直线：,联立直线与抛物线可得,则由韦达定理得,,代入中即可求得,进而得到抛物线方程；

（2）设,则,,①由可得,将点的坐标代入抛物线中可得,则,进而得到,是方程的两根,从而求得点、点的坐标,利用导数求得切线方程,联立即可求得交点,因而得证；

②由,得,代回抛物线方程, 同理①整理后可得,为方程的两根,求得点的坐标,则,将点坐标代入求证即可

（1）由题,显然直线的斜率存在,设：,,

联立得,,

由韦达定理得,,

,

,

即

,

则抛物线方程为

（2）设,则,,

①由,,得,

点D在抛物线C上,

故,

即,则,

由,所以,即,

同理可得,

即,是方程的两根,

解得或,

不妨,,则中点,直线

由,所以,

得两切线,

所以,解得,则,

所以N在直线PM上

②设,,

由,得,

代D入抛物线C,

则,

即,

化简得：,

同理将E代入抛物线C得：,

即,为方程的两根,

由韦达定理得,,,

所以,,

显然,

所以设,

所以,,

故,为定值