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已知函数. (1)若为单调函数,求a的取值范围; (2)若函数仅一个零点,求a的...

已知函数

1)若为单调函数,求a的取值范围;

2)若函数仅一个零点,求a的取值范围.

 

(1)(2)或 【解析】 (1)对求导得,因为为单调函数,故或恒成立,利用导数研究或哪个能成立即可; (2)因为,所以是的一个零点,由(1)可知,当时,为上的增函数,所以仅有一个零点,满足题意,当时,得,分,,讨论验证即可. 解析:(1)由(),得 , 因为为单调函数, 所以当时,或恒成立, 由于,于是只需或对于恒成立, 令,则, 当时,,所以为增函数, 则.又当时,, 则不可能恒成立,即不可能为单调减函数. 当,即时,恒成立, 此时函数为单调递增函数. (2)因为,所以是的一个零点. 由(1)知,当时,为的增函数, 此时关于x的方程仅一解,即函数仅一个零点,满足条件. 当时,由得, (ⅰ)当时,, 则, 令, 易知为的增函数,且, 所以当时,,即,为减函数, 当时,,即,为增函数, 所以, 在上恒成立,且仅当,于是函数仅一个零点. 所以满足条件. (ⅱ)当时,由于在为增函数, 则,当时,. 则存在,使得,即使得, 当时,, 当时,, 所以,且当时,. 于是当时存在的另一解,不符合题意,舍去. (ⅲ)当时,则在为增函数, 又,, 所以存在,使得,也就使得, 当时,, 当时,, 所以,且当时,. 于是在时存在的另一解,不符合题意,舍去. 综上,a的取值范围为或.
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27

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