Question

已知平面直角坐标系中两个定点，，如果对于常数，在函数，的图像上有且只有6个不同的点，使得成立，那么的取值范围是（   ）

A. B. C. D.

Answer

C

【解析】

画出函数y＝|x+2|+|x﹣2|﹣4在[﹣4，4]的图象，讨论若P在AB上，设P（x，﹣2x﹣4）；若P在BC上，设P（x，0）；若P在CD上，设P（x，2x﹣4）．求得向量PE，PF的坐标，求得数量积，由二次函数的最值的求法，求得取值范围，讨论交点个数，即可得到所求范围．

函数y＝|x+2|+|x﹣2|﹣4

，

（1）若P在AB上，设P（x，﹣2x﹣4），﹣4≤x≤﹣2．

∴（3﹣x，6+2x），（﹣3﹣x，6+2x）．

∴x2﹣9+（6+2x）2＝5x2+24x+27=，

∵x∈[﹣4，﹣2]，∴λ≤11．

∴当λ或时有一解，当λ≤-1时有两解；

（2）若P在BC上，设P（x，0），﹣2＜x≤2．

∴（3﹣x，2），（﹣3﹣x，2）．

∴x2﹣9+4＝x2﹣5，

∵﹣2＜x≤2，∴﹣5≤λ≤﹣1．

∴当λ＝﹣5或﹣1时有一解，当﹣5＜λ＜﹣1时有两解；

（3）若P在CD上，设P（x，2x﹣4），2＜x≤4．

（3﹣x，6﹣2x），（﹣3﹣x，6﹣2x），

∴x2﹣9+（6﹣2x）2＝5x2﹣24x+27，

∵2＜x≤4，∴λ≤11．

∴当λ或时有一解，当λ<-1时有两解；

综上，可得有且只有6个不同的点P的情况是λ＜﹣1．

故选C．