Question

数列满足：，，且，，成等差数列，其中.

（1）求实数的值及数列的通项公式；

（2）若不等式成立的自然数恰有4个，求正整数的值.

Answer

（1），（2）

【解析】

（1）由题意和等差中项的性质列出方程求出λ，再利用累加法求出数列{an}的通项公式；（2）结合条件对n进行分类讨论，当n≥3时利用分离常数法化简得p，设，通过作差得到数列的单调性，进而得，根据条件即可求出正整数p的值．

（1）由题意：，

∵，，成等差数列，

∴，解得：

∵，，

∴，检验n=1 成立

故

（2）【解析】
∵，∴

∵，∴显然成立

当时，，设

∴

当时，；当时，；

又，，，，

若还需有2解，则，

即，解得，所以正整数