Question

已知是定义在上的函数，如果存在常数，对区间的任意划分：，和式恒成立，则称为上的“绝对差有界函数”。注：。

（1）证明函数在上是“绝对差有界函数”。

（2）证明函数不是上的“绝对差有界函数”。

（3）记集合存在常数，对任意的，有成立，证明集合中的任意函数为“绝对差有界函数”，并判断是否在集合中，如果在，请证明并求的最小值；如果不在，请说明理由。

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）证明详见解析，的最小值为.

【解析】

（1）首先化简函数，并且函数在区间上为单调递增函数，由定义可知任意划分区间，根据定义求；

（2）取区间的一个划分：，代入则有，由此根据定义判断是否存在；

（3）利用不等式的传递性证明，

，利用和差化积公式化简证明求的最小值.

【解析】
（1）因为在区间上为单调递增函数，

所以当时，有，

所以。

从而对区间的任意划分：，存在，成立。

综上，函数在上是“绝对差有界函数”。

（2）取区间的一个划分：，

则有：

所以对任意常数，只要足够大，就有区间的一个划分：

满足。

（3）证明：任取，存在常数有成立。从而对区间的任意划分：，和式成立。取，所以集合中的任意函数为“绝对差有界函数”。

因为，所以对任意的有

，

所以的最小值为。