Question

已知函数为偶函数．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求的值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）1 （Ⅱ）2 （Ⅲ）或.

【解析】

（Ⅰ）由题意x∈R时f（﹣x）＝f（x），列出方程求解b＝1即可；

（Ⅱ）求出f（1），通过，求解a；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下条件转化为在R上只有一个零点，令t＝2x，则t＞0，即关于t的方程只有一个正实根，令，通过k与1的大小比较，转化求解k的范围即可．

（Ⅰ）由题意时，，，

，故．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

，显然，，解得或，

又且，所以．

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下 ，

在上只有一个零点，

令，则，即关于的方程只有一个正实根，

令，

①当时，，满足条件；

②当时，函数的图象是开口向上的抛物线，又，

所以方程有一正一负两根，满足条件；

③当时，函数的图象是开口向下的抛物线，又，

时满足题意，解得，

故实数的取值范围为或.