Question

已知幂函数在上单调递增，又函数.

（1）求实数的值，并说明函数的单调性；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由f（x）是幂函数，得到m2﹣m﹣1＝1，再由f（x）在（0，+∞）上单调递增，得到﹣2m﹣1＞0，从而求出m＝﹣1，进而g（x），由此能求出函数g（x）在R上单调递增；

（2）由g（﹣x）＝2﹣x（）＝﹣g（x），得到g（x）是奇函数，从而不等式g（1﹣3t）+g（1+t）≥0可变为g（1﹣3t）≥﹣g（1+t）＝g（﹣1﹣t），由此能求出实数t的取值范围．

（1）因为是幂函数，所以，解得或，

又因为在上单调递增，所以，即，

即，则，

因为与均在上单调递增，

所以函数在上单调递增.

（2）因为，

所以是奇函数，

所以不等式可变为，

由（1）知在上单调递增，所以，

解得.