Question

设椭圆，定义椭圆C的“相关圆”E为:.若抛物线的焦点与椭圆C的右焦点重合，且椭圆C的短轴长与焦距相等.

（1）求椭圆C及其“相关圆”E的方程；

（2）过“相关圆”E上任意一点P作其切线l，若l 与椭圆交于A,B两点，求证:为定值（为坐标原点）；

（3）在（2）的条件下，求面积的取值范围.

Answer

（1），；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）由题设知，又，从而可得，得椭圆方程，及相关圆方程；

（2）对直线斜率进行讨论，斜率不存在时，直接写出直线方程，求出坐标，得，

斜率存在时，设直线方程为，与椭圆方程联立方程组，消元后得关于的二次方程，有韦达定理得，由直线与圆相切得关系，计算也可得，定值．

（3）由于是“相关圆”半径，所以，结合韦达定理求得，并得到其范围，从而得面积的范围．

（1）抛物线的焦点是，与椭圆的一个焦点重合，∴，又，所以，

椭圆方程为，“相关圆”的方程为．

（2）当直线斜率不存在时，不妨设其方程为，则，可得．

当直线斜率存在时，设其方程为，设，由得，

，即，

由韦达定理得，．

因为直线与圆相切，所以，整理得，

所以，所以，，为定值．

（3）由于，因此求面积的取值范围只要求弦长的取值范围．

当直线斜率不存在时，，，

当直线斜率存在时，

，

时，0，

时，，

∴，即，当且仅当即时，．

所以的取值范围是，

故面积的取值范围是．