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设椭圆,定义椭圆C的“相关圆”E为:.若抛物线的焦点与椭圆C的右焦点重合,且椭圆...

设椭圆,定义椭圆C相关圆E:.若抛物线的焦点与椭圆C的右焦点重合,且椭圆C的短轴长与焦距相等.

1)求椭圆C及其相关圆E的方程;

2)过相关圆E上任意一点P作其切线l,若l 与椭圆交于A,B两点,求证:为定值(为坐标原点);

3)在(2)的条件下,求面积的取值范围.

 

(1),;(2)证明见解析;(3). 【解析】 (1)由题设知,又,从而可得,得椭圆方程,及相关圆方程; (2)对直线斜率进行讨论,斜率不存在时,直接写出直线方程,求出坐标,得, 斜率存在时,设直线方程为,与椭圆方程联立方程组,消元后得关于的二次方程,有韦达定理得,由直线与圆相切得关系,计算也可得,定值. (3)由于是“相关圆”半径,所以,结合韦达定理求得,并得到其范围,从而得面积的范围. (1)抛物线的焦点是,与椭圆的一个焦点重合,∴,又,所以, 椭圆方程为,“相关圆”的方程为. (2)当直线斜率不存在时,不妨设其方程为,则,可得. 当直线斜率存在时,设其方程为,设,由得, ,即, 由韦达定理得,. 因为直线与圆相切,所以,整理得, 所以,所以,,为定值. (3)由于,因此求面积的取值范围只要求弦长的取值范围. 当直线斜率不存在时,,, 当直线斜率存在时, , 时,0, 时,, ∴,即,当且仅当即时,. 所以的取值范围是, 故面积的取值范围是.
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