Question

设为数列的前n项和, 且满足为常数.

（1）若，求的值；

（2）是否存在实数 ，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

（3）当时，若数列满足，且，令，求数列的前n项和.

Answer

（1）或；（2）不存在，理由见解析；（3）.

【解析】

(1)分别代入求解得再利用求解参数即可.

(2) 假设存在实数,使得数列为等差数列,则进而分析取值再判断即可.

(3)利用通项与前n项和的关系求得的递推公式,进而求得通项公式,再分析利用裂项求和即可.

（1）由得,（即）,

,

故

于是由得 解得或；

(2) 假设存在实数,使得数列为等差数列,则

于是由（1）可得

即,矛盾, 所以,不存在实数,使得数列为等差数列.

(3) 当,且,

所以即,

故数列是以1为首项,2为公比的等比数列, 即,

因,且,故

当时,上式仍然成立.所以

于是

故

.