Question

已知函数的最大值与最小值之和为a²+a+1（a＞1）．

（1）求a的值；

（2）判断函数g（x）=f（x）-3在[1，2]的零点的个数，并说明理由．

Answer

（1）；（2）一个零点.

【解析】

（1）函数在a＞1时单调递增，再根据函数的最大值与最小值之和为a2+a+1．即可得出．

（2）由（1）可得函数f（x）=log2x+2x．可得函数f（x）在[1，2]内单调递增，可得g（x）=f（x）-3在[1，2]内单调递增，最多有一个零点．再利用零点存在的判定定理即可得出．

【解析】
（1）函数在a＞1时单调递增，

又函数的最大值与最小值之和为a2+a+1．

∴f（1）+f（2）=0+a+loga2+a2=a2+a+1，解得a=2．

（2）由（1）可得函数f（x）=log2x+2x．

可得函数f（x）在[1，2]内单调递增，

可得g（x）=f（x）-3在[1，2]内单调递增，最多有一个零点．

∵g（1）=f（1）-3=2-3=-1＜0，g（2）=f（2）-3=-3=2＞0，

可得函数在[1，2]内有且只有一个零点．