Question

已知函数f(x)＝3ax²＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根．

Answer

见解析

【解析】

试题根据函数解析式代入f（0）＞0、f（1）＞0，得c＞0且3a+2b+c＞0，结合a+b+c=0化简即可得到a＞0；利用a+b+c=0化简得f()＝-,结合a>0，可得f()<0，由f()与f(0)，f(1)都异号，利用零点存在性定理得f(x)＝0在区间和上各有一个零点，由此可得f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根.

试题解析：

∵f(1)>0，∴3a＋2b＋c>0，

即3(a＋b＋c)－b－2c>0.

∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c>0，

则－b－c>c，即a>c.

∵f(0)>0，∴c>0，则a>0.

在区间[0,1]内选取二等分点，

则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a<0.

∵f(0)>0，f(1)>0，

∴函数f(x)在区间和上各有一个零点．

又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．