Question

写出下列命题的否定，并判断真假：

（1）不论取何实数，方程必有实数根；

（2）所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；

（3）某些梯形的对角线互相平分；

（4）被8整除的数能被4整除．

Answer

（1）存在实数，使得方程没有实数根，真命题；（2）存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题；（3）任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题；（4）存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．

【解析】

(1) 先将命题改写成含全称量词的形式得到全称命题,再将全称命题写成特称命题即可,利用判别式小于零有解说明命题是真命题.

(2) 先将命题改写成含全称量词的形式得到全称命题,再将全称命题写成特称命题即可,显然是假命题.

(3)先将命题改写成含特称量词的形式得到特称命题,再将特称命题写成全称命题即可,是真命题.

(4)先将命题改写成含全称量词的形式得到全称命题,再将全称命题写成特称命题即可,是假命题.

（1）这一命题可以表述为对所有的实数，方程都有实数根，其否定是存在实数，使得方程没有实数根．当，即时，该方程没有实根，因此是真命题．

（2）命题的否定：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题．

（3）命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题．

（4）命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．