Question

对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①函数在区间内是单调函数；②当定义域为时，的值域也是，则称是该函数的和谐区间.

（1）求证：函数不存在和谐区间；

（2）已知：函数有和谐区间，当变化时，求出的最大值；

（3）易知，函数是以任一区间为它的“和谐区间”，试再举一例有和谐区间的函数，并写出它的个和谐区间（不需要证明，但是不能用本题已经讨论过的以及形如的函数）.

Answer

（1）见解析；（2）；（3）和谐区间为.

【解析】

（1）由题知函数的定义域为，设是已知函数定义域的子集，得到函数在上单调递增.再假设是函数的“和谐区间”，则，通过判断方程无实数根得到函数不存在“和谐区间”.

（2）设是函数定义域的子集，得到函数在上单调递增，是方程的同号的不相等的实数根.利用一元二次方程有两个不相等的实数根可得到或.所以，由二次函数的性质即可求出最大值.

（3）可以举例常见的基本初等函数，如.

（1）设是已知函数定义域的子集.

因为，所以或.

所以函数在上单调递增.

若是函数的“和谐区间”，则.

所以是方程的同号的不相等的实数根.

又因为无实数根，

所以函数不存在“和谐区间”.

（2）设是已知函数定义域的子集.

因为，所以或.

所以函数在上单调递增.

若是函数的“和谐区间”，则.

所以是方程的同号的不相等的实数根.

整理得：是方程的同号的不相等的实数根.

因为，

所以同号，只需满足

即或时，已知函数又“和谐区间”.

因为，

所以当时，.

（3）例如：函数，“和谐区间”为.