Question

如图，已知直线：和直线：，射线的一个法向量为，点为坐标原点，且，直线和之间的距离为2，点，分别是直线和上的动点，，于点，于点.

（1）若，求的值；

（2）若，，且，试求的最小值；

（3）若，求的最大值.

Answer

（1），（2）最小值为（3）32

【解析】

（1）由，求得，，进而求得的值；

（2）当，，可得，当且仅当取点时，取最小值；

（3）由，利用柯西不等式可得，得解.

【解析】
（1）由，所以射线的一个法向量为，

所以射线的斜率为1，即射线的方程为：，

所以,,

所以,

直线：，,

所以,

故；

（2）当，直线：和直线：，如图所示，作出点关于

直线的对称点,则,

设，所以 ，

同理：由对称性可得：当且仅当取点时，取最小值，

故的最小值为；

（3）由题意有，，直线与之间的距离为2，

所以，即，

设，，

因为，所以，

又，即，

所以，

又，

所以，

故的最大值为32.