Question

已知函数是定义在上的奇函数.

（1）求的值与函数的值域.

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1），（2）

【解析】

（1）根据奇函数的性质，令列出方程，求出的值；

（2）由判断出，再把分离出来转化为对时恒成立，利用换元法：令，代入上式并求出的范围，再转化为求在上的最大值．

【解析】
（1）函数且是定义在上的奇函数，

，解得．

此时，是奇函数.

所以，

，，则，所以值域为.

（2）由（1）得，当时，．

当时，恒成立，

则等价于对时恒成立，

令，，即，当时恒成立，

既在上的最大值，易知在上单调递增，

当时有最大值0，所以，

故所求的范围是：．