Question

已知数列满足：，.

（1）若，写出一组的值，使数列是常数列；

（2）若，记，求证：.并求的值；

（3）若，，求证：对于任意的，.

Answer

（1），（2）证明见解析，，（3）证明见解析

【解析】

（1）只要满足且，即可满足；

（2）先求出与的关系，再根据，即可证明，求出的通项公式，再根据极限的定义即可求出；

（3）用数学归纳法证明即可．

【解析】
（1）当时，则，即数列是常数列；

只要满足且，均可满足数列是常数列；

（2）当时，，

所以，

因为，

所以，即，

因为，

所以，

所以，

（3）由，则，又，则，

所以，

设，，，

因为，则，

所以，

又，

函数在上递增，所以在上也是递增，

所以，且，

所以．

综上知，对于任意的，，.