Question

求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程：

（1）短轴长等于，离心率等于的椭圆；

（2）与椭圆共焦点，且过点的双曲线.

Answer

（1） （2）

【解析】

(1)根据以及离心率的表达式计算出的值，判断焦点位置，求解出椭圆方程；

(2)根据椭圆的焦点设出双曲线方程，代入点即可求解出双曲线的方程.

【解析】
（1）由题意可知，，

因为，可得，

若焦点在x轴上，椭圆的方程为，

若焦点在y轴上，椭圆的标准方程为，

（2）椭圆的焦点为，可设双曲线方程为，

将点代入可得

整理可得，，解得或（不合题意），

所以双曲线的标准方程为.