Question

已如椭圆，四点中恰有三点在椭圆上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设不经过左焦点的直线交椭圆于A，B两点，若直线、、的斜率依次成等差数列，求直线l的斜率k的取值范围.

Answer

（1） （2）或.

【解析】

(1)先判断在椭圆上，然后再代入坐标进行判断，即可求解出椭圆的方程；

(2)联立直线与椭圆方程，根据斜率成等差数列求解出直线方程中之间的关系，再根据联立后的一元二次方程的即可求解出斜率的取值范围.

【解析】
（1）由椭圆的对称性，点在椭圆上，代入椭圆可得，,

若点在椭圆上，

则有，联立无解，

所以点在椭圆上，代入椭圆可得，，

代入中解得，，

所以椭圆C的方程的为.

（2）由（1）可知，

设直线AB的方程为，，

联立，

消y可得，，

则有，

且①，

由题意可知，，

化简整理可得，，

若，则直线AB的方程为，过点，不满足题意

所以，即，

化简可得，，

代入①中得，，

整理可得，

解得，

所以直线l的斜率k的取值范围为或.