Question

抛物线：过点.

（1）求抛物线的方程；

（2）设为轴上一点，为抛物线上任意一点，求的最小值；

（3）过抛物线的焦点，作相互垂直的两条弦和，求的最小值.

Answer

（1）（2）当时，的最小值为；当时，的最小值为（3）32

【解析】

（1）将点代入抛物线方程，解出，即可求出；

（2）设出点，根据距离公式表示出，再根据二次函数知识即可求出；

（3）由题可知两直线斜率都存在，所以设：，：，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求出，，根据弦长公式即可求出和的长，然后根据基本不等式即可求出．

（1）将点代入抛物线方程，得，解得，

所以抛物线的方程为：．

（2）设点，则，．

所以．

设，对称轴为，

当即时，在上单调递增，所以，即的最小值为；

当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，的最小值为．

综上，当时，的最小值为；当时，的最小值为．

（3）由题可知两直线斜率都存在，设，，

：，：，

由，化简得，，所以，

同理可得，，即，，

故．

即的最小值为32．