Question

如图，在平面直角坐标系中，己知点，，，分别为线段，上的动点，满足.

（1）若点恰好与点重合，求半径为且与直线相切于点的圆的方程；

（2）设，求证：的外接圆恒过定点（异于原点）.

Answer

（1）或（2）定点为证明见解析

【解析】

（1）当点恰好与点重合时，可知，，设出圆的圆心坐标为，

根据，求出，即可得到圆的方程；

（2）根据三个顶点坐标，利用几何法可以求出圆的方程，即可知圆过定点．

（1）依题意可知，，，所以．设圆的圆心坐标为，

由，可得，，解得或．

故所求的圆的方程为：或．

（2）因为，设，则，即．

所以点的坐标为，点的坐标为．

的垂直平分线所在直线方程为：，即；

的垂直平分线所在直线方程为：，

由 解得．

所以的外接圆的方程为：

即，化简得，，

令，解得（舍去）或．

故的外接圆恒过定点．