Question

如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：，设是椭圆上任一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点，.

（1）若直线，互相垂直，且圆心落在第一象限，求圆的圆心坐标；

（2）若直线，的斜率都存在，并记为，.

①求证：；

②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

Answer

（1）（2）①证明见解析②．

【解析】

（1）根据题意可知，，又点在椭圆上，列出方程即可求出；

（2）①设过点且与圆相切的切线方程为，根据直线与圆相切可列出关于的一元二次方程，根据韦达定理即可求出，即可证出；

②联立直线与椭圆方程，即可求出，从而得到，由①所得结论即可求出．

（1）设直线，分别与圆相切于点，由几何知识可知，四边形为正方形，所以，又点在椭圆上，即 ，，解得，

而圆心落在第一象限，所以，故圆的圆心坐标为．

（2）①设过点且与圆相切的切线方程为，所以，化简得，

，所以直线，的斜率，为方程的两根，

即，而可得，所以，

即．

②由解得，，所以，

同理可得，，故

由①知，，代入上式可得，

．

故为定值，．