Question

已知数列的前项和为，且，（）.

（1）计算，，，，并求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求证：数列是等比数列；

（3）由数列的项组成一个新数列：，，，，，设为数列的前项和，试求的值.

Answer

（1）详见解析，；（2）；（3）1

【解析】

（1）通过计算出前几项的值，猜想通项公式，进而利用数学归纳法证明；

（2）通过与作差，进而计算即得结论；

（3）通过（2），利用分组法求和，进而计算可得结论．

（1）【解析】
当时，由，得；

由，得；

当时，由，得；

当时，由，得；

猜想：．

下面用数学归纳法证明：

①当时， ，结论显然成立；

②假设当时，，

由条件知，

故

＝

＝，

于是，

从而，

故数列的通项公式为：；

（2）证明：当时，，当时，由条件得

＝

从而，

故数列是以为首项，为公比的等比数列；

（3）【解析】
由题意，得

故

，

从而.