Question

已知椭圆的左焦点为F，短轴的两个端点分别为A，B，且，为等边三角形.

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，点M在椭圆C上且位于第一象限内，它关于坐标原点O的对称点为N；过点M作x轴的垂线，垂足为H，直线与椭圆C交于另一点J，若，试求以线段为直径的圆的方程；

（3）已知是过点A的两条互相垂直的直线，直线与圆相交于P，Q两点，直线与椭圆C交于另一点R，求面积最大值时，直线的方程.

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

（1）由题意可得，，由，，的关系，可得的值，进而得椭圆方程；

（2）设，即有，，，运用向量的数量积的坐标表示，可得，，求出的方程，代入椭圆方程，可得的坐标，求得的中点坐标和半径，进而可得圆的方程；

（3）设，代入椭圆方程可得，运用韦达定理和弦长公式，再由三角形的面积公式，运用配方和二次函数的最值得求法，即可得到所求直线的方程.

（1）由题意可得，即，又为等边三角形，可得，

所以，

所以，椭圆的方程为：.

（2）设，即有，，，

由题意得，，即为，解得，

代入椭圆方程可得，，解得，即有，，

所以直线方程为：，将其代入椭圆方程得：，

由，解得点坐标为，则中点为，

所以圆的半径为，

即以线段为直径的圆的方程为：.

（3）设，代入椭圆方程可得，，

解得，，则，

由题意可得直线的方程为，代入圆的方程中，

由弦长公式可得，

则的面积为

令，即有，

所以

所以当，即有，此时，有最大值，

即有直线的方程为.