Question

设函数的定义域为，如果存在非零常数，对于任意，都有，则称函数是“似周期函数”，非零常数为函数的“似周期”.现有下面四个关于“似周期函数”的命题：

①如果“似周期函数”的“似周期”为，那么它是周期为的周期函数；

②函数是“似周期函数”；

③函数是“似周期函数”；

④如果函数是“似周期函数”，那么“，”.

其中是真命题的序号是___________.（写出所有满足条件的命题序号）

Answer

①④.

【解析】

①由题意知，从而可得；

②由得恒成立；从而可判断；

③由得恒成立；从而可判断；

④由得恒成立；即恒成立，从而可得，从而解得结果.

【解析】
①“似周期函数”的“似周期”为，

，

，

故它是周期为的周期函数，故正确；

②若函数是“似周期函数”，则，

即恒成立；

故恒成立，

上式不可能恒成立；

故错误；

③若函数是“似周期函数”，则，

即恒成立；

故成立，无解；故错误；

④若函数是“似周期函数”，则，

即恒成立；

故恒成立；

即恒成立，

故，则，

故，；故正确；

故答案为：①④.