Question

如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，．

（1）求索道AB的长；

（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

Answer

（1）索道AB的长为1 040 m；（2）t＝ (min)时，甲、乙两游客距离最短.

【解析】

试题（1）在△ABC中，由cosA和cosC可得sinA根和sinC，从而得sinB，由正弦定理，可得AB；

（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm，由余弦定理得d2＝200(37t2－70t＋50)，结合二次函数即可得最值.

试题解析：

（1）在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，

所以sin A＝，sin C＝.

从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)

＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.

由正弦定理＝，得AB＝×sin C＝×＝1 040(m)．

所以索道AB的长为1 040 m.

（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m

所以由余弦定理得

d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)，

因0≤t≤，即0≤t≤8，

故当t＝ (min)时，甲、乙两游客距离最短.