Question

已知函数，.

（1）当时，判断的奇偶性，并说明理由；

（2）当，时，若，求的值；

（3）若，且对任意不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）答案不唯一，具体见解析（2）或（3）

【解析】

（1）当时，为奇函数；当时，为非奇非偶函数.运用奇偶性的定义，即可得到结论；

（2）当，时，若，即为，当，当，去掉绝对值，由指数方程的解法，即可得到所求的值；

（3）只需考虑的情况，此时，不等式即，即，故.利用函数的单调性求得和，从而求得的取值范围.

【解析】
（1）当时，，

当时，为奇函数；

当时，为非奇非偶函数.

理由：当时，，

，

为奇函数；

当时，，

且，则为非奇非偶函数；

（2）当，时，若，

即为，

当，即时，，

解方程可得或（舍去）；

当，即时，，

解方程可得.

则或；

（3）当时，不等式即，显然恒成立，

故只需考虑的情况，

此时，不等式即，即，

故.

由于函数在上单调递增，

故.

对于函数，，

当时，，

当且仅当时，的最小值.

此时，要使存在，必须有，

即，此时的取值范围是.