Question

设个正数依次围成一个圆圈，其中是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列.

（1）若，求数列的所有项的和；

（2）若，求的最大值；

（3）当时是否存在正整数，满足？若存在，求出值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）；（3）时，存在满足等式.

【解析】

（1）先由题意得到，确定数列中元素，即可得出结果；

（2）先由是首项为，公差为的等差数列，得到；根据是公比为的等比数列，所以，推出，再由题意，即可得出结果；

（3）先由题意得到，，得到，再由题中条件，得到，进而可求出结果.

（1）由题意可得：，

因此数列为共个数，

此时，；

（2）因为是首项为，公差为的等差数列，所以；

而是公比为的等比数列，所以，因此，

所以，因此，要使最大，则最大；

又，故的最大值为，可得：，

解得：；即的最大值为；

（3）由是公差为的等差数列，可得：，

而是公比为的等比数列，所以.

故，即，

又，，

所以，即，

即，即，因此，

所以，

所以；代入验证可得：当时，上式等式成立，此时；

综上，当且仅当时，存在满足等式.