Question

如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点．

（1）若为线段上的动点，证明：平面平面；

（2）若为线段，，上的动点（不含，），，三棱锥的体积是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）存在，.

【解析】

(1)利用,可得平面,根据面面垂直的判定定理可证平面平面;

(2) 由底面，得平面平面．将问题转化为点到直线的距离有无最大值即可解决.

（1）证明:因为，为线段的中点，所以,

因为底面，平面，所以,

又因为底面为正方形，所以，,

所以平面,

因为平面，所以,

因为，所以平面,

因为平面，所以平面平面.

（2）由底面，则平面平面,

所以点到平面的距离（三棱锥的高）等于点到直线的距离,

因此，当点在线段，上运动时，三棱锥的高小于或等于2,

当点在线段上运动时,三棱锥的高为2,

因为的面积为,

所以当点在线段上，三棱锥的体积取得最大值,

最大值为.

由于三棱锥的体积等于三棱锥的体积,

所以三棱锥的体积存在最大值.