Question

已知函数．

（1）若为单调函数，求a的取值范围；

（2）若函数仅一个零点，求a的取值范围．

Answer

（1）（2）或

【解析】

（1）对求导得，因为为单调函数，故或恒成立，利用导数研究或哪个能成立即可；
（2）因为，所以是的一个零点，由（1）可知，当时，为上的增函数，所以仅有一个零点，满足题意，当时，得，分，，讨论验证即可．

解析：（1）由（），得

，

因为为单调函数，

所以当时，或恒成立，

由于，于是只需或对于恒成立，

令，则，

当时，，所以为增函数，

则．又当时，，

则不可能恒成立，即不可能为单调减函数．

当，即时，恒成立，

此时函数为单调递增函数．

（2）因为，所以是的一个零点．

由（1）知，当时，为的增函数，

此时关于x的方程仅一解，即函数仅一个零点，满足条件．

当时，由得，

（ⅰ）当时，，

则，

令，

易知为的增函数，且，

所以当时，，即，为减函数，

当时，，即，为增函数，

所以，

在上恒成立，且仅当，于是函数仅一个零点．

所以满足条件．

（ⅱ）当时，由于在为增函数，

则，当时，．

则存在，使得，即使得，

当时，，

当时，，

所以，且当时，．

于是当时存在的另一解，不符合题意，舍去．

（ⅲ）当时，则在为增函数，

又，，

所以存在，使得，也就使得，

当时，，

当时，，

所以，且当时，．

于是在时存在的另一解，不符合题意，舍去．

综上，a的取值范围为或．