Question

已知函数，且函数的图象与函数的图象关于直线对称.

（1）若存在，使等式成立，求实数m的最大值和最小值

（2）若当时不等式恒成立，求a的取值范围.

Answer

（1）最小值为,最大值为3, （2）.

【解析】

（1）化简表达式，根据对称性求得表达式，求得的值域，将分离常数，由的值域，求得的最大值和最小值.

（2）当时，化简不等式为，根据的符号进行分类讨论，利用分离常数法求得实数的取值范围.

（1）

.

函数的图象上取点，

关于直线对称点的坐标为，

代入，可得，

，则

，

等式，可化为，

时，m的最小值为；

或2时，m的最大值为3；

（2）当时，，即，恒成立.

所以（i）当时，，所以，即，由于，所以的最小值为，所以；

（ii）当，不等式化为成立.

（iii）当时，，所以，即，由于，所以的最大值为，所以.

综上所述，的取值范围是.