Question

如图1，在矩形中，，为垂足，在上，将沿折起，使点到点的位置，连，且，如图2.

（1）求证：平面；

（2）求钝二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由题分别求得,进而得到的值,利用勾股定理可得,由已知条件可得,即可得证；

（2）以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系,分别求得平面与平面的法向量,进而利用法向量求解二面角余弦值

（1）证明：由图1可得,,

所以,即,

所以,则,

因为,所以,

又因为,

所以,即,

因为,所以,且,,平面,

所以平面

（2）由（1）,以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系,如图，

则,

所以,,,

设平面的法向量为,则,即,

令,则,所以,

设平面的法向量为,则,即,

令,则,所以,

所以,

由题意可知,二面角为钝角,所以二面角的余弦值为