Question

已知函数.

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）将代入求出的表达式，再求出，根据导数的几何意义即可求解.

（2）根据题意将不等式采用分离参数法：当时， ；当1时， ，令利用导函数研究函数的单调性，求出的最值即可求解.

（1）依题意，，，

所以，

所以，，

所以，

所以切线方程为，

即.

（2）依题意，即，

所以，当时，显然成立；

当时，即，

令，

且时，解得，

所以在单调递增，在上单调递减，

所以，所以；

当1时，即，

令，，

所以在单调递增，

所以，

又，综上可得，.