Question

已知,数列、满足:,,记．

（1）若，，求数列、的通项公式；

（2）证明：数列是等差数列；

（3）定义，证明：若存在，使得、为整数，且有两个整数零点，则必有无穷多个有两个整数零点．

Answer

（1）

（2）证明见解析

（3）证明见解析

【解析】

（1）通过、可知数列是首项、公差均为1的等差数列；通过，当时利用计算，进而可得结论；

（2）通过（1）代入计算即得结论；

（3）通过分析可知方程有两个整数根，利用，只需令为整数即可．

（1）【解析】
，，

数列是首项、公差均为1的等差数列，

；

又，

，

又，

当时，

，

又当时上式成立，

；

（2）证明：，，

，

数列是等差数列；

（3）证明：依题意，方程有两个整数根，

则，且为整数，

又、为整数，

满足题意，

必有无穷多个有两个整数零点．