Question

如果实系数、、和、、都是非零常数．

（1）设不等式和的解集分别是、，试问是的什么条件？并说明理由．

（2）在实数集中，方程和的解集分别为和，试问是的什么条件？并说明理由．

（3）在复数集中，方程和的解集分别为和，证明：是的充要条件．

Answer

（1）既不充分也不必要条件；（2）充分不必要条件；（3）充见解析.

【解析】

（1）通过举反例判断出推不出，反之也推不出，根据充要条件的有关定义得出结论.

（2）通过举反例判断出，推不出两个方程的系数之间的关系，反之当两个方程的系数对应成比例，两个方程式是同解方程，利用充要条件的有关定义得到结论.

（3）两个方程的系数对应成比例，所以两个方程是同解方程，充分性得证，由韦达定理可以证明必要性.

（1）若，，则，

若，则两个不等式的系数之间没有关系．

是的既不充分也不必要条件．

（2）若，则两个方程的系数之间没有关系．

由于两个方程的系数对应成比例，所以两个方程式同解方程．

是的充分不必要条件.

（3）是的充要条件，

由于两个方程的系数对应成比例，所以两个方程是同解方程．充分性得证．

当时，由韦达定理可得，，即，，

从而可得，即必要性成立．