Question

已知函数，若关于的方程有实数根，且两根分别为、.

（1）求的最大值；

（2）若函数为偶函数，证明：函数在上的单调性．

Answer

（1）2（2）证明见解析

【解析】

（1）先求出的取值范围，再利用韦达定理可把转化为关于的二次函数，利用二次函数的性质可求最大值.

（2）先求出的值，再利用单调性的定义可判断的单调性.

（1）由题意，

∵,∴或.

由韦达定理得；.

又.

∵在上单调递增，在上单调递减，

而时，时，

∴的最大值为2．

（2）证明：因为函数为偶函数，所以，

.

任取，则,

因为，故，，

故即，

故在上递增．