Question

某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l₁、l₂，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l₁、l₂的距离分别为8千米和1千米，点N到l₂的距离为10千米，以l₁、l₂分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设点P的横坐标为p．

（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；

（2）若某人从点O沿公路至点P观景，要使得沿折线OAP比沿折线OBP的路程更近，求p的取值范围．

Answer

（1）见解析； （2）见解析.

【解析】

（1）由题意得M（1，8），则a=8，即得曲线段的函数关系式，可得其定义域；

（2）由函数关系式设点P坐标，设直线AB方程，将直线方程与曲线方程联立求出A，B坐标，即可求出最短长度p的取值范围

（1）由题意得M（1，8），则a=8，故曲线段MPN的函数关系式为，

又得，所以定义域为[1，10]．

（2），设AB:

由得kpx2+（8﹣kp2）x﹣8p=0，

△=（8﹣kp2）2+32kp2=（kp2+8）2=0，

∴kp2+8=0，∴，得直线AB方程为，

得,B(2p,0)，故点P为AB线段的中点，

由即p2﹣8＞0,

得时，OA＜OB，

所以，当时，经点A至P路程最近．