Question

如图，，，…，是曲线：上的点，，，…，是轴正半轴上的点，且，，…，均为斜边在轴上的等腰直角三角形（为坐标原点）.

 

（1）写出、和之间的等量关系，以及、和之间的等量关系；

（2）猜测并证明数列的通项公式；

（3）设，集合，，若，求实常数的取值范围.

Answer

（1），；（2），证明见解析；（3）.

【解析】

（1）依题意利用等腰直角三角形的性质可得，，.

（2）由得，即，猜测，再用数学归纳法进行证明.

（3）用裂项法求得的值为，由函数在区间上单调递增，且，求得，再由，由，有，或，由此求得实常数的取值范围.

（1）依题意利用等腰直角三角形的性质可得，，.

（2）由得，

即，猜测.

证明：①当时，可求得，命题成立.

②假设当时，命题成立，即有，

则当时，由归纳假设及，

得，

即，

解得，（不合题意，舍去），

即当时，命题成立.

综上所述，对所有，.

（3）

.

因为函数在区间上单调递增，且，

所以.

，

由，有，或，

故.