Question

在中，，D为的中点，E为的重心，F为的外心，证明：．

Answer

见解析

【解析】

用向量的方法证明，建立如下图坐标系，根据已知条件设，，，

求出点坐标和的坐标，由可判断的外心在上，设为，再由，求出，由重心公式求出点坐标，坐标，证明，即可得证结论.

证明：建立如图所示的平面直角坐标系，

设，，，

则，∴，

易知的外心F在y轴上，可设为．

由，得，

∴，即．

又∵E为的重心，∴点E的坐标为，

∴，

∴，

∴，即．